Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to (\frac{π}{2})} 3^{e \tan (x)}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 3^{e \tan (x)}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $3^{e \tan (x)}$ en insérant $(\frac{π}{2})$ pour $x$ .

$3^{e \tan ((\frac{π}{2}))}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{2})$ est $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez $\frac{π}{2}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$3^{e \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})}$

Étape 2.2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$3^{e \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 2.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 2.2.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 2.2.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 2.2.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}}$

Étape 2.2.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.7.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 2.2.7.1.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

Étape 2.2.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 2.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}}$

Étape 2.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 2.2.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 2.2.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 2.3

Comme $3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 3^{e \tan (x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $3^{e \tan (x)}$ en insérant $(\frac{π}{2})$ pour $x$ .

$3^{e \tan ((\frac{π}{2}))}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{2})$ est $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Étape 4.2.1

Divisez $\frac{π}{2}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$3^{e \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})}$

Étape 4.2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$3^{e \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 4.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 4.2.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 4.2.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}}$

Étape 4.2.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}}$

Étape 4.2.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Étape 4.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.7.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.7.1.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

Étape 4.2.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 4.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}}$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 4.2.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 4.2.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

Étape 4.3

Comme $3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$