Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{w \to k} \frac{w^{2} + 9 k w + 8 k^{2}}{w^{2} + k w}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $k$ .

$\frac{lim_{w \to k} w^{2} + 9 k w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $k$ .

$\frac{lim_{w \to k} w^{2} + lim_{w \to k} 9 k w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $w^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + lim_{w \to k} 9 k w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Étape 4

Placez le terme $9 k$ hors de la limite car il constant par rapport à $w$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + lim_{w \to k} 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Étape 5

Évaluez la limite de $8 k^{2}$ qui est constante lorsque $w$ approche de $k$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + k w}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $k$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{lim_{w \to k} w^{2} + lim_{w \to k} k w}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $w^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + lim_{w \to k} k w}$

Étape 8

Placez le terme $k$ hors de la limite car il constant par rapport à $w$ .

$\frac{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $k$ pour toutes les occurrences de $w$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $w$ en insérant $k$ pour $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k lim_{w \to k} w + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $w$ en insérant $k$ pour $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{{(lim_{w \to k} w)}^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $w$ en insérant $k$ pour $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{k^{2} + k lim_{w \to k} w}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $w$ en insérant $k$ pour $w$ .

$\frac{k^{2} + 9 k \cdot k + 8 k^{2}}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Additionnez $k^{2}$ et $8 k^{2}$ .

$\frac{9 k^{2} + 9 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.2

Factorisez $9 k$ à partir de $9 k^{2} + 9 k \cdot k$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $9 k$ à partir de $9 k^{2}$ .

$\frac{9 k (k) + 9 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.2.2

Factorisez $9 k$ à partir de $9 k \cdot k$ .

$\frac{9 k (k) + 9 k (k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.2.3

Factorisez $9 k$ à partir de $9 k (k) + 9 k (k)$ .

$\frac{9 k (k + k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.3

Additionnez $k$ et $k$ .

$\frac{9 k \cdot 2 k}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.4

Associez les exposants.

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Étape 10.1.4.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 k \cdot k}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.4.2

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 (k^{1} k)}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.4.3

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 (k^{1} k^{1})}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 k^{1 + 1}}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{k^{2} + k \cdot k}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2} + k \cdot k$ .

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Étape 10.2.1.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2}$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot k + k \cdot k}$

Étape 10.2.1.2

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot k + k (k)}$

Étape 10.2.1.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k + k (k)$ .

$\frac{18 k^{2}}{k (k + k)}$

Étape 10.2.2

Additionnez $k$ et $k$ .

$\frac{18 k^{2}}{k \cdot 2 k}$

Étape 10.2.3

Associez les exposants.

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Étape 10.2.3.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 (k^{1} k)}$

Étape 10.2.3.2

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 (k^{1} k^{1})}$

Étape 10.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 k^{2}}{2 k^{1 + 1}}$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{18 k^{2}}{2 k^{2}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 k^{2}$ .

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 k^{2}}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 k^{2}$ .

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 (k^{2})}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 k^{2})}{2 k^{2}}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 k^{2}}{k^{2}}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $k^{2}$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 k^{2}}{k^{2}}$

Étape 10.4.2

Divisez $9$ par $1$ .

$9$