Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} \sqrt[6]{7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{lim_{x \to 9} 7 x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1.4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - lim_{x \to 9} 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 lim_{x \to 9} x + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x \cdot 9$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$ par $\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9}$ .

$\frac{x \cdot 9}{x \cdot 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2}{\frac{1}{x} - \frac{1}{9}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 (\frac{1}{x} - \frac{1}{9})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 9$ .

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x (9) \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{x \cdot 9 \frac{1}{x} + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 (- \frac{1}{9})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot 9 \frac{- 1}{9}}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $9$ à partir de $x \cdot 9$ .

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + 9 \cdot x \frac{- 1}{9}}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $x \cdot 9$ à partir de $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $x \cdot 9$ à partir de $x \cdot 9 \sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $x \cdot 9$ à partir de $x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1}) + x \cdot 9 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{7 \cdot 9 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Associez les exposants.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 1 \cdot 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{63 + 1} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1

Additionnez $63$ et $1$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{64} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$\frac{x \cdot 9 (\sqrt[6]{2^{6}} - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{x \cdot 9 (2 - 2)}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{x \cdot 9 \cdot 0}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.5

Associez les exposants.

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{0 \cdot 9}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $0$ par $9$ .

$\frac{0}{9 + x \cdot - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot x}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{0}{9 - x}$

Étape 3.6

Divisez $0$ par $9 - x$ .

$0$