Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Étape 2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Étape 2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

Étape 2.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ comme $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 2.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Étape 2.3.5.5

Simplifiez

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$