Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.3

Convertissez de $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cos (2 x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2} \cdot π$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Étape 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2} \cdot π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2} \cdot π$ pour $x$ .

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2} \cdot π$ pour $x$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 7.5

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$