Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (5 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 ({(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $20$ .

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$

Étape 10.3

Associez $\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4

Factorisez $2$ à partir de $20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{10 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Étape 12.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 (x^{2} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 12.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{1} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.5

Simplifiez

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1 + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} + 10 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.4

Simplifiez

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Étape 12.1.4.1

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.4.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.4.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.1.4.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 x^{2} + 60 x + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$