Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 1

Évaluez la limite de $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Étape 2.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $7$ comme $1$ plus $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Étape 2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Étape 2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Étape 2.4

Réduisez l’expression $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ comme $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ par $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Étape 2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ par $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Étape 2.7.2

Élevez $\sqrt{2 y + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Étape 2.7.3

Élevez $\sqrt{2 y + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Étape 2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Étape 2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ comme $2 y + 1$ .

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Étape 2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y + 1}$ comme ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Étape 2.7.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Étape 2.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$