Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \sin (x))}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (1 + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Associez $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (x)}}$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (x)}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\cos (0)}{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\cos (0)}{1 + \sin (0)}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + \sin (0)}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{1}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1}$

Étape 6.4

Simplifiez

$e$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$