Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to x^{6}} \frac{3 x^{4} + 4 x - 5}{x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to x^{6}} 3 x^{4} + 4 x - 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to x^{6}} 3 x^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to x^{6}} x^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + lim_{x \to x^{6}} 4 x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - lim_{x \to x^{6}} 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - 7 x^{4} - 2 x + 10}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to x^{6}} x^{6} - lim_{x \to x^{6}} 7 x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - lim_{x \to x^{6}} 7 x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Étape 9

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 lim_{x \to x^{6}} x^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - lim_{x \to x^{6}} 2 x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + lim_{x \to x^{6}} 10}$

Étape 12

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $x^{6}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $x^{6}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $x^{6}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 lim_{x \to x^{6}} x - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $x^{6}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to x^{6}} x)}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $x^{6}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(lim_{x \to x^{6}} x)}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $x^{6}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 lim_{x \to x^{6}} x + 10}$

Étape 13.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $x^{6}$ pour $x$ .

$\frac{3 {(x^{6})}^{4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{4}$ .

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Étape 14.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{6 \cdot 4} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.1.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 1 \cdot 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{{(x^{6})}^{6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{6}$ .

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Étape 14.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{6 \cdot 6} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.2.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 {(x^{6})}^{4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{4}$ .

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Étape 14.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 x^{6 \cdot 4} - 2 x^{6} + 10}$

Étape 14.2.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{3 x^{24} + 4 x^{6} - 5}{x^{36} - 7 x^{24} - 2 x^{6} + 10}$