Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} 3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}}{x}$

Étape 5.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}}{x}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}}{x}$

Étape 6

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 6.1

Réécrivez ${(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}$ comme $e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}}{x}$

Étape 6.2

Développez $\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})$ en déplaçant $\frac{1 - x}{x}$ hors du logarithme.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + 1)}}{x}$

Étape 7.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Étape 7.8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} 3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Étape 7.9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Étape 7.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}}{x}$

Étape 9

Multipliez $e^{3 \cdot 8}$ par $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ .

$\frac{3 (e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)} e^{3 \cdot 8})}{x}$

Étape 9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 e^{- \frac{7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.5.2

Multipliez $- \frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ .

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Étape 9.5.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (e^{24} + 1)$ et $\frac{7}{8}$ .

$\frac{3 e^{- (\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.5.2.2

Simplifiez $\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ en déplaçant $\frac{7}{8}$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 3 \cdot 8}}{x}$

Étape 9.5.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 24}}{x}$