Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{x}{4 y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4 y})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4 y}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2} \cdot 4}$

Étape 3.6

Déplacez $4$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $4 y^{2}$ .

$y' (4 y^{2}) = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$ dans le numérateur.

$4 y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$4 y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 y' y^{2} = - (y - x y')$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y' y^{2} = - y - (- x y')$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- (- x y')$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Étape 5.2.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 y' y^{2} = - y + x y'$

Étape 5.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$4 y' y^{2} = - y + y' x$

Étape 5.2.2.1.5

Remettez dans l’ordre $- y$ et $y' x$ .

$4 y' y^{2} = y' x - y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Soustrayez $y' x$ des deux côtés de l’équation.

$4 y' y^{2} - y' x = - y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' y^{2} - y' x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' y^{2}$ .

$y' (4 y^{2}) - y' x = - y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x$ .

$y' (4 y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (4 y^{2} - 1 x) = - y$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' (4 y^{2} - x) = - y$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (4 y^{2} - x) = - y$ par $4 y^{2} - x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 y^{2} - x) = - y$ par $4 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (4 y^{2} - x)}{4 y^{2} - x} = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4 y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 y^{2} - x)}{4 y^{2} - x} = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{4 y^{2} - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 y^{2} - x}$