Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 8 \sqrt{x} + x^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 8 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $- 9$ de $x^{- 9}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \sqrt{8} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + 8^{- 9}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{9}}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.5

Élevez $8$ à la puissance $9$ .

$\frac{16 \sqrt{2} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.6

Pour écrire $16 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{134217728}{134217728}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \cdot \frac{134217728}{134217728} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.7

Associez $16 \sqrt{2}$ et $\frac{134217728}{134217728}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{2} \cdot 134217728}{134217728} + \frac{1}{134217728}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{16 \sqrt{2} \cdot 134217728 + 1}{134217728}}{2 x - 8}$

Étape 6.1.9

Multipliez $134217728$ par $16$ .

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 x - 8}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 8$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 (x) - 8}$

Étape 6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 6.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}}{2 (x - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728} \cdot \frac{1}{2 (x - 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728} \cdot \frac{1}{2 (x - 4)}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728}$ par $\frac{1}{2 (x - 4)}$ .

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{134217728 (2 (x - 4))}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $134217728$ .

$\frac{2147483648 \sqrt{2} + 1}{268435456 (x - 4)}$