Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Étape 4.4.2

Déplacez $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{x + 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Étape 4.4.4

Élevez $\sqrt{x + 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Étape 4.4.7

Réécrivez ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ comme $x + 2$ .

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Étape 4.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Étape 4.4.7.5

Simplifiez

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Étape 4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Étape 4.6

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$