Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8 - \sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $9$ par $8$ .

$\frac{8 - \sqrt{64 + 72 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8.1.3

Additionnez $64$ et $72$ .

$\frac{8 - \sqrt{136 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8.1.4

Additionnez $136$ et $2$ .

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ par $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ .

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}} \cdot \frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ par $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ .

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{(x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}$

Étape 8.4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{x^{4} + x^{2} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} x^{2} - {\sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}^{2}}$

Étape 8.5

Simplifiez

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.6

Développez $(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 3 x^{2} - 5}$

Étape 8.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 5}$

Étape 8.10

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 1 (5)}$

Étape 8.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2} + 5)}$

Étape 8.12

Réécrivez $- (3 x^{2} + 5)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 1 (3 x^{2} + 5)}$

Étape 8.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{3 x^{2} + 5}$