Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \sqrt[4]{\frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2

Divisez $16$ par $1$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 3.5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + 16}}$

Étape 7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.2.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{0 + 1}{0 + 16}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{0 + 16}}$

Étape 7.2.3

Additionnez $0$ et $16$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Étape 7.2.4

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Étape 7.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Étape 7.2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.6.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Étape 7.2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$