Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{h}{{(x + h)}^{2}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

Étape 7

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{x^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{h}{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{h}{x^{2}}$

Étape 8

Placez le terme $\frac{1}{x^{2}}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez les termes opposés dans $\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ .

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Étape 10.1.1

Divisez $0$ par ${(x + 0)}^{2}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 10.1.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 10.2

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0$