Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} (6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite de $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{6 (x + 0) + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{6 x + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 3 - (6 x) - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.4

Associez les termes opposés dans $6 x + 3 - 6 x - 3$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{0 + 3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.4.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [6 (x + h)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $6 (x + h)$ par rapport à $h$ est $6 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Comme $- (6 x + 3)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- (6 x + 3)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6}{1}$

Étape 1.4

Divisez $6$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 6$

Étape 2

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$6$