Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h) - \sqrt{3}}{h}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $h$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h \cdot \frac{3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Étape 1.2

Associez $h$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + \frac{h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + h \cdot 3) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.7

Évaluez la limite de $\sqrt{3}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} π) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $π$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})]$ .

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + 3 \cdot h}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \tan (h)$ et $g (h) = \frac{π + 3 h}{3}$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π + 3 h}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\frac{π + 3 h}{3}$ par rapport à $h$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π + 3 h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $π$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3 h$ par rapport à $h$ est $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.9

Additionnez $0$ et $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 3) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.11.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.12

Multipliez $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4

Comme $- \sqrt{3}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \sqrt{3}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez $\sec (\frac{π + 3 h}{3})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + 3 h}{3}))}^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} \frac{π + 3 h}{3})}$

Étape 3.5

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + 3 h)}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Étape 3.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h))}$

Étape 4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ comme ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$

Étape 5.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ à $\sec (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 0))$

Étape 5.5

Additionnez $π$ et $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} π)$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 5.7

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$2^{2}$

Étape 5.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4$