Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 2)}^{2} (x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) (x - 1)]$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 1)]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 4 x + 4) (x - 1)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ et $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $x^{2} + 4 x + 4$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 1.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.5.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + 0)$

Étape 1.1.5.11

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4$

Étape 1.1.6.4.8

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + 2 x - 4$

Étape 1.1.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 4 x + 4 + 2 x - 4$

Étape 1.1.6.4.10

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} + 6 x + 4 - 4$

Étape 1.1.6.4.11

Soustrayez $4$ de $4$ .

$3 x^{2} + 6 x + 0$

Étape 1.1.6.4.12

Additionnez $3 x^{2} + 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x + 2)}^{2} (x - 1)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${((0) + 2)}^{2} ((0) - 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$2^{2} ((0) - 1)$

Étape 4.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 ((0) - 1)$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$4 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${((- 2) + 2)}^{2} ((- 2) - 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0^{2} ((- 2) - 1)$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 ((- 2) - 1)$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$0 \cdot - 3$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $0$ par $- 3$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 4), (- 2, 0)$

Étape 5