Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} (\frac{n}{2 π}) \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{n}{2 π} \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{2 π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{2 π}{n}) = 1$

Étape 4

Placez le terme $2 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π lim_{n \to 8} \frac{1}{n}) = 1$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2 (π)} \cdot (2 (4)) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{π}$ et $4$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{8}) = 1$

Étape 8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{2 (4)}) = 1$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{2 \cdot 4}) = 1$

Étape 8.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{π} \cdot \sin (π \frac{1}{4}) = 1$

Étape 8.4

Associez $π$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \sin (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 8.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

Étape 8.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{π} \cdot \sqrt{2} = 1$

Étape 8.7

Associez $\frac{2}{π}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π} = 1$