Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n + 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n + 2)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n + 3)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Étape 15

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

Étape 16

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{lim_{n \to 8} n^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Étape 17

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Étape 18

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n + n)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

Étape 19

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

Étape 20

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 20.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.5

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.6

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.7

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.8

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

Étape 20.9

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21

Simplifiez la réponse.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 21.1.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{8}{9^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.1.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 21.1.2.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{10^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{729} + 2 (\frac{8}{1000}) + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $1000$ .

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 (500)} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 \cdot 500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{729} + \frac{8}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $500$ .

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Étape 21.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{4 (2)}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 21.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $500$ .

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 21.1.5.1

Additionnez $8$ et $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{11^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.5.2

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 (\frac{8}{1331}) + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.6

Multipliez $3 (\frac{8}{1331})$ .

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Étape 21.1.6.1

Associez $3$ et $\frac{8}{1331}$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{3 \cdot 8}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.6.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.7

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{{(8 + 8)}^{3}}$

Étape 21.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 21.1.8.1

Additionnez $8$ et $8$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{16^{3}}$

Étape 21.1.8.2

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{4096}$

Étape 21.1.9

Annulez le facteur commun à $64$ et $4096$ .

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Étape 21.1.9.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 (1)}{4096}$

Étape 21.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 21.1.9.2.1

Factorisez $64$ à partir de $4096$ .

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

Étape 21.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

Étape 21.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 21.2.1

Multipliez $\frac{8}{729}$ par $\frac{10648000}{10648000}$ .

$\frac{8}{729} \cdot \frac{10648000}{10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.2

Multipliez $\frac{8}{729}$ par $\frac{10648000}{10648000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.3

Multipliez $\frac{2}{125}$ par $\frac{62099136}{62099136}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} \cdot \frac{62099136}{62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.4

Multipliez $\frac{2}{125}$ par $\frac{62099136}{62099136}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.5

Multipliez $\frac{24}{1331}$ par $\frac{5832000}{5832000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} \cdot \frac{5832000}{5832000} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.6

Multipliez $\frac{24}{1331}$ par $\frac{5832000}{5832000}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64}$

Étape 21.2.7

Multipliez $\frac{1}{64}$ par $\frac{121287375}{121287375}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64} \cdot \frac{121287375}{121287375}$

Étape 21.2.8

Multipliez $\frac{1}{64}$ par $\frac{121287375}{121287375}$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Étape 21.2.9

Multipliez $729$ par $10648000$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Étape 21.2.10

Multipliez $125$ par $62099136$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Étape 21.2.11

Multipliez $1331$ par $5832000$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

Étape 21.2.12

Multipliez $64$ par $121287375$ .

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{7762392000}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 10648000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.4.1

Multipliez $8$ par $10648000$ .

$\frac{85184000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.4.2

Multipliez $2$ par $62099136$ .

$\frac{85184000 + 124198272 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.4.3

Multipliez $24$ par $5832000$ .

$\frac{85184000 + 124198272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.5

Additionnez $85184000$ et $124198272$ .

$\frac{209382272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.6

Additionnez $209382272$ et $139968000$ .

$\frac{349350272 + 121287375}{7762392000}$

Étape 21.7

Additionnez $349350272$ et $121287375$ .

$\frac{470637647}{7762392000}$

Étape 22

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{470637647}{7762392000}$

Forme décimale :

$0.06063049 \dots$