Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{5 n}{\sqrt{n + 6}}$

Étape 1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$5 lim_{n \to 8} \frac{n}{\sqrt{n + 6}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 6}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 6}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{8 + 6}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Additionnez $8$ et $6$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{14}}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 (\frac{8}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}})$

Étape 7.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

Étape 7.3.2

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14}}$

Étape 7.3.3

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1}}$

Étape 7.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2}}$

Étape 7.3.6

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 7.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{1}}$

Étape 7.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $14$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{14}$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{14}$

Étape 7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 (7)}$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 \cdot 7}$

Étape 7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$

Étape 7.5

Multipliez $5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

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Étape 7.5.1

Associez $5$ et $\frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

$\frac{5 (4 \sqrt{14})}{7}$

Étape 7.5.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Forme décimale :

$10.69044967 \dots$