Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 1}{\sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Étape 9

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $4$ de $n^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $n^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 13.5

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $3$ par $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{192 + 32 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.1.4

Additionnez $192$ et $32$ .

$\frac{224 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.1.5

Additionnez $224$ et $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 4096 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $9$ par $4096$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Étape 14.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 512 + 8 + 1}}$

Étape 14.2.4

Additionnez $36864$ et $512$ .

$\frac{225}{\sqrt{37376 + 8 + 1}}$

Étape 14.2.5

Additionnez $37376$ et $8$ .

$\frac{225}{\sqrt{37384 + 1}}$

Étape 14.2.6

Additionnez $37384$ et $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}}$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ par $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}} \cdot \frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$

Étape 14.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.4.1

Multipliez $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ par $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{\sqrt{37385} \sqrt{37385}}$

Étape 14.4.2

Élevez $\sqrt{37385}$ à la puissance $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} \sqrt{37385}}$

Étape 14.4.3

Élevez $\sqrt{37385}$ à la puissance $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} {\sqrt{37385}}^{1}}$

Étape 14.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1 + 1}}$

Étape 14.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{2}}$

Étape 14.4.6

Réécrivez ${\sqrt{37385}}^{2}$ comme $37385$ .

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Étape 14.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37385}$ comme $37385^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{(37385^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{1}}$

Étape 14.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385}$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun à $225$ et $37385$ .

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Étape 14.5.1

Factorisez $5$ à partir de $225 \sqrt{37385}$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{37385}$

Étape 14.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $37385$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 (7477)}$

Étape 14.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 \cdot 7477}$

Étape 14.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Forme décimale :

$1.16368068 \dots$