Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{1}{\sqrt[5]{n}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt[5]{n}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} \sqrt[5]{n}}$

Étape 1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt[5]{lim_{n \to 8} n}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.2.2

Élevez $\sqrt[5]{8}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Étape 3.2.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ comme $8$ .

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Étape 3.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{8}$ comme $8^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 3.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 3.2.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.2.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Étape 3.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Étape 3.3.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt[5]{4096}}{8}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $4096$ comme $4^{5} \cdot 4$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $1024$ à partir de $4096$ .

$\frac{\sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez $1024$ comme $4^{5}$ .

$\frac{\sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Étape 3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt[5]{4}$ .

$\frac{4 (\sqrt[5]{4})}{8}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt[5]{4}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[5]{4}}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[5]{4}}{2}$

Forme décimale :

$0.65975395 \dots$