Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ comme $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ .

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ en déplaçant $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ hors du logarithme.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $4$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $4$ .

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $t$ approche de $4$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Étape 2.9

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $4$ pour $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $4$ pour $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $4$ pour $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.2

Soustrayez $12$ de $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4

Multipliez $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.2.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Étape 4.4.6

Additionnez $2$ et $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Forme décimale :

$1.7624831 \cdot 10^{27}$