Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $n^{\frac{1}{\ln (n)}}$ comme $e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}}$

Étape 2.2

Développez $\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})$ en déplaçant $\frac{1}{\ln (n)}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Étape 3.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Étape 3.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $\ln (8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{1}}$

Étape 5.2

Simplifiez

$\frac{1}{e}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{e}$

Forme décimale :

$0.36787944 \dots$