Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ comme $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ .

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ en déplaçant $\frac{1}{2 n + 1}$ hors du logarithme.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Étape 2.8

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

Étape 2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Étape 2.10

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1000000$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $1000000$ pour $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $1000000$ pour $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $1000000$ pour $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Étape 4.1.2

Additionnez $2000000$ et $1$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Étape 4.2

Élevez $1000000$ à la puissance $2$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

Étape 4.3

Additionnez $1000000000000$ et $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

Étape 4.4

Associez $\frac{1}{2000001}$ et $\ln (1000001000000)$ .

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Forme décimale :

$1.00001381 \dots$