Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à ${(k + 1)}^{k + 1}$ et $k + 1$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $k + 1$ à partir de ${(k + 1)}^{k + 1}$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $k + 1$ à partir de $(k + 1) i$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 1.3

Placez le terme $\frac{1}{i}$ hors de la limite car il constant par rapport à $k$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(k + 1)}^{k}$ comme $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(k + 1)}^{k})$ en déplaçant $k$ hors du logarithme.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $k$ approche de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Étape 3.6

Placez le terme $i$ hors de la limite car il constant par rapport à $k$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

Étape 3.7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

Étape 4

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.1

Réécrivez $k^{k}$ comme $e^{\ln (k^{k})}$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

Étape 4.2

Développez $\ln (k^{k})$ en déplaçant $k$ hors du logarithme.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $k$ approche de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

Étape 5.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $k$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $k$ en insérant $8$ pour $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $e^{8 \cdot \ln (8)}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $e^{8 \cdot \ln (8)}$ à partir de $\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i$ .

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i \cdot 8$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{i}$ et $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i} \cdot i \cdot 8$

Étape 7.3

Associez $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i}$ et $i$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i} \cdot 8$

Étape 7.4

Associez $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i}$ et $8$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Étape 7.5.2

Divisez $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$ par $1$ .

$e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$

Étape 7.6

Additionnez $8$ et $1$ .

$e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)} \cdot 8$

Étape 7.7

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$ .

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Forme décimale :

$20.52627611 \dots$