Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 8}}{\frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 1.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} {(n + 8)}^{n + 1}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(n + 8)}^{n + 1}$ comme $e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(n + 8)}^{n + 1})$ en déplaçant $n + 1$ hors du logarithme.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{(n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} (n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.9

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 3.11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Étape 4

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.1

Réécrivez ${(n + 7)}^{n}$ comme $e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}}}}$

Étape 4.2

Développez $\ln ({(n + 7)}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n + 7)}}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n + 7)}}}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 7)}}}}$

Étape 5.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7)}}}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3^{8 + 8} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$3^{16} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.3

Élevez $3$ à la puissance $16$ .

$43046721 \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$43046721 (\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}} \cdot \frac{1}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}})$

Étape 7.5

Associez.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)} e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.6

Multipliez $e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}$ par $e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.6.2

Additionnez $8$ et $7$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.6.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (8 + 8)}}$

Étape 7.6.4

Additionnez $8$ et $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Étape 7.6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.6.5.1

Simplifiez $8 \ln (15)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (15^{8}) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Étape 7.6.5.2

Élevez $15$ à la puissance $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Étape 7.6.5.3

Simplifiez $9 \ln (16)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (16^{9})}}$

Étape 7.6.5.4

Élevez $16$ à la puissance $9$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (68719476736)}}$

Étape 7.6.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625 \cdot 68719476736)}}$

Étape 7.6.7

Multipliez $2562890625$ par $68719476736$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Étape 7.7

Multipliez $3^{8 + 1}$ par $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Étape 7.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.8.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$43046721 \frac{3^{9}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Étape 7.8.2

Élevez $3$ à la puissance $9$ .

$43046721 \frac{19683}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Étape 7.9

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$43046721 (\frac{19683}{176120502681600000000})$

Étape 7.10

Annulez le facteur commun de $6561$ .

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Étape 7.10.1

Factorisez $6561$ à partir de $43046721$ .

$6561 (6561) \frac{19683}{176120502681600000000}$

Étape 7.10.2

Factorisez $6561$ à partir de $176120502681600000000$ .

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Étape 7.10.3

Annulez le facteur commun.

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Étape 7.10.4

Réécrivez l’expression.

$6561 (\frac{19683}{26843545600000000})$

Étape 7.11

Associez $6561$ et $\frac{19683}{26843545600000000}$ .

$\frac{6561 \cdot 19683}{26843545600000000}$

Étape 7.12

Multipliez $6561$ par $19683$ .

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Forme décimale :

$4.81084596 \cdot 10^{- 9}$