Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Étape 3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Étape 4

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ comme $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Étape 4.2

Développez $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Étape 5.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Étape 7.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Étape 7.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Étape 7.2.4

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Étape 7.2.5

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{16777216}{43046721}$ par $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16777216}{43046721}$

Forme décimale :

$0.38974434 \dots$