Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{x (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 1

Placez le terme $x$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$x lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 n + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 n + 3)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 13

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 14

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$x \frac{9 {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x \frac{9 {(16 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16.1.3

Additionnez $16$ et $1$ .

$x \frac{9 \cdot 17^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16.1.4

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(16 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Étape 16.2.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{19^{2} \cdot 8}$

Étape 16.2.3

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{361 \cdot 8}$

Étape 16.3

Multipliez $9$ par $289$ .

$x \frac{2601}{361 \cdot 8}$

Étape 16.4

Multipliez $361$ par $8$ .

$x \frac{2601}{2888}$

Étape 16.5

Associez $x$ et $\frac{2601}{2888}$ .

$\frac{x \cdot 2601}{2888}$

Étape 16.6

Déplacez $2601$ à gauche de $x$ .

$\frac{2601 x}{2888}$