Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Étape 11

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 15.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

Étape 15.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

Étape 15.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

Étape 15.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

Étape 15.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ par $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ par $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

Étape 15.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

Étape 15.6

Simplifiez

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

Étape 15.7

Divisez $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ par $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

Étape 15.8

Développez $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Étape 15.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Étape 15.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.9.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.2

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Étape 15.9.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.2.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.3

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 15.9.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Étape 15.9.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$1.05727969 \dots$