Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{e^{n} + e^{- n}}{e^{2 n} - 2}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Étape 4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{lim_{n \to 8} - n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Étape 5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

Étape 7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2}$

Étape 9

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{8} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.1.2

Pour écrire $e^{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{e^{8} e^{8}}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{8} e^{8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.1.4

Multipliez $e^{8}$ par $e^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{8 + 8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.1.4.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 2}$

Étape 11.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8}} \cdot \frac{1}{e^{16} - 2}$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}$ par $\frac{1}{e^{16} - 2}$ .

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

Forme décimale :

$0.00033546 \dots$