Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{{(n + 2)}^{3} + {(n - 2)}^{3}}{n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3} + {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n + 2)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + lim_{n \to 8} {(n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $3$ de ${(n - 2)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + 2 n^{2} - 1}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $4$ de $n^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{{(8 + 2)}^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{10^{3} + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{1000 + {(8 - 1 \cdot 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1000 + {(8 - 2)}^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.4

Soustrayez $2$ de $8$ .

$\frac{1000 + 6^{3}}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1000 + 216}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.1.6

Additionnez $1000$ et $216$ .

$\frac{1216}{8^{4} + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{1216}{4096 + 2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1216}{4096 + 2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{1216}{4096 + 128 - 1 \cdot 1}$

Étape 15.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1216}{4096 + 128 - 1}$

Étape 15.2.5

Additionnez $4096$ et $128$ .

$\frac{1216}{4224 - 1}$

Étape 15.2.6

Soustrayez $1$ de $4224$ .

$\frac{1216}{4223}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1216}{4223}$

Forme décimale :

$0.28794695 \dots$