Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} 2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 1

Placez le terme $2592$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$2592 lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 3

Évaluez la limite de $\frac{1}{4}$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} lim_{n \to 8} \frac{1}{n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Étape 7

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{2}})$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Étape 12.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Étape 12.1.2

Associez.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 8^{2}})$

Étape 12.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4 \cdot 8^{2}})$

Étape 12.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 8^{2}})$

Étape 12.1.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}})$

Étape 12.1.4.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{2}$ .

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Étape 12.1.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}})$

Étape 12.1.4.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{6}})$

Étape 12.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2 + 6}})$

Étape 12.1.4.5

Additionnez $2$ et $6$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{8}})$

Étape 12.1.5

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2.4

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2.5

Multipliez $4$ par $64$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Étape 12.2.6

Multipliez $16$ par $16$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{1}{256})$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2592 \frac{64 + 16 + 1}{256}$

Étape 12.4

Additionnez $64$ et $16$ .

$2592 \frac{80 + 1}{256}$

Étape 12.5

Additionnez $80$ et $1$ .

$2592 (\frac{81}{256})$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $32$ à partir de $2592$ .

$32 (81) \frac{81}{256}$

Étape 12.6.2

Factorisez $32$ à partir de $256$ .

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Étape 12.6.3

Annulez le facteur commun.

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Étape 12.6.4

Réécrivez l’expression.

$81 (\frac{81}{8})$

Étape 12.7

Associez $81$ et $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81 \cdot 81}{8}$

Étape 12.8

Multipliez $81$ par $81$ .

$\frac{6561}{8}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{6561}{8}$

Forme décimale :

$820.125$