Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to \frac{3}{2}} {(4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de ${(4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{t \to \frac{3}{2}} 4 t^{2} + 8 t - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\frac{3}{2}$ .

${(lim_{t \to \frac{3}{2}} 4 t^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

${(4 lim_{t \to \frac{3}{2}} t^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + lim_{t \to \frac{3}{2}} 8 t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - lim_{t \to \frac{3}{2}} 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\frac{3}{2}$ .

${(4 {(lim_{t \to \frac{3}{2}} t)}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{3}{2}$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $t$ .

${(4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 8 lim_{t \to \frac{3}{2}} t - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $t$ .

${(4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

${(4 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(4 \frac{9}{2^{2}} + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(4 (\frac{9}{4}) + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${(4 (\frac{9}{4}) + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${(9 + 8 (\frac{3}{2}) - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

${(9 + 2 (4) \frac{3}{2} - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.5.2

Annulez le facteur commun.

${(9 + 2 \cdot 4 \frac{3}{2} - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.5.3

Réécrivez l’expression.

${(9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

${(9 + 12 - 1 \cdot 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.1.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

${(9 + 12 - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.2

Additionnez $9$ et $12$ .

${(21 - 5)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3

Soustrayez $5$ de $21$ .

$16^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.1

Annulez le facteur commun.

$4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 8.6.2

Réécrivez l’expression.

$4^{3}$

Étape 8.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64$