Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Étape 1.1.3

Lorsque $n$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Étape 1.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n}$ comme $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Étape 1.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 1.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 1.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Étape 1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.10.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez $n^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Étape 2

Comme la fonction $\sqrt{n}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Étape 2.2

Lorsque $n$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\infty$