Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{16 x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{16 x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 2

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + lim_{x \to 8} 49 x^{2}}}}{2}$

Étape 7

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + 49 lim_{x \to 8} x^{2}}}}{2}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{16 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{5 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}}{2}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{8^{2}}{5 + 49 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}}{2}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{8^{2}}{5 + 49 \cdot 8^{2}}}}{2}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 49 \cdot 8^{2}}}}{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 49 \cdot 64}}}{2}$

Étape 10.2.2

Multipliez $49$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{16 \frac{64}{5 + 3136}}}{2}$

Étape 10.2.3

Additionnez $5$ et $3136$ .

$\frac{\sqrt{16 (\frac{64}{3141})}}{2}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Associez $16$ et $\frac{64}{3141}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{16 \cdot 64}{3141}}}{2}$

Étape 10.3.2

Multipliez $16$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1024}{3141}}}{2}$

Étape 10.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1024}{3141}}$ comme $\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3141}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{3141}}}{2}$

Étape 10.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.4.1

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{32^{2}}}{\sqrt{3141}}}{2}$

Étape 10.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{32}{\sqrt{3141}}}{2}$

Étape 10.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.5.1

Réécrivez $3141$ comme $3^{2} \cdot 349$ .

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Étape 10.3.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $3141$ .

$\frac{\frac{32}{\sqrt{9 (349)}}}{2}$

Étape 10.3.5.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\frac{32}{\sqrt{3^{2} \cdot 349}}}{2}$

Étape 10.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\frac{32}{3 \sqrt{349}}}{2}$

Étape 10.3.6

Multipliez $\frac{32}{3 \sqrt{349}}$ par $\frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}$ .

$\frac{\frac{32}{3 \sqrt{349}} \cdot \frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}}{2}$

Étape 10.3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.7.1

Multipliez $\frac{32}{3 \sqrt{349}}$ par $\frac{\sqrt{349}}{\sqrt{349}}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \sqrt{349} \sqrt{349}}}{2}$

Étape 10.3.7.2

Déplacez $\sqrt{349}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 (\sqrt{349} \sqrt{349})}}{2}$

Étape 10.3.7.3

Élevez $\sqrt{349}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 ({\sqrt{349}}^{1} \sqrt{349})}}{2}$

Étape 10.3.7.4

Élevez $\sqrt{349}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 ({\sqrt{349}}^{1} {\sqrt{349}}^{1})}}{2}$

Étape 10.3.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {\sqrt{349}}^{1 + 1}}}{2}$

Étape 10.3.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {\sqrt{349}}^{2}}}{2}$

Étape 10.3.7.7

Réécrivez ${\sqrt{349}}^{2}$ comme $349$ .

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Étape 10.3.7.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{349}$ comme $349^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 {(349^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 10.3.7.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 10.3.7.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 10.3.7.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.7.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 10.3.7.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349^{1}}}{2}$

Étape 10.3.7.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{3 \cdot 349}}{2}$

Étape 10.3.8

Multipliez $3$ par $349$ .

$\frac{\frac{32 \sqrt{349}}{1047}}{2}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{32 \sqrt{349}}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $2$ à partir de $32 \sqrt{349}$ .

$\frac{2 (16 \sqrt{349})}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (16 \sqrt{349})}{1047} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \sqrt{349}}{1047}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16 \sqrt{349}}{1047}$

Forme décimale :

$0.28548678 \dots$