Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

Étape 1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{8} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $e^{8}$ comme ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1^{2}}{e^{x} + 1}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{4}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{4} - 1)}{e^{x} + 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez $e^{4}$ comme ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1)}{e^{x} + 1}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2})}{e^{x} + 1}$

Étape 3.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1))}{e^{x} + 1}$

Étape 3.4.4

Simplifiez

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2}))}{e^{x} + 1}$

Étape 3.4.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{e^{x} + 1}$

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{x} + 1}$