Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $8$ de $x^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 32}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $32$ de $16777216$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777184}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $16777184$ comme $2^{4} \cdot 1048574$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $16777184$ .

$\frac{\sqrt[4]{16 (1048574)}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{2^{4} \cdot 1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ par $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}} \cdot \frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ par $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{(2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}) (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}$

Étape 6.4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{4 x^{4} + 2 x^{2} \sqrt{x^{4} - 2} - 2 \sqrt{x^{4} - 2} x^{2} - {\sqrt{x^{4} - 2}}^{2}}$

Étape 6.5

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{3 x^{4} + 2}$