Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.1.5

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $x^{\frac{4}{3}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$