Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} x^{2} (5 x^{2} - 4) d x$

Étape 1

Multipliez $x^{2} (5 x^{2} - 4)$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} x^{2} \cdot 5 + x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{2} x^{2 + 2} \cdot 5 + x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{1}^{2} x^{4} \cdot 5 + x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{4}$ .

$\int_{1}^{2} 5 \cdot x^{4} + x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 5 x^{4} - 4 x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 5 x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$5 (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{32 - 1}{5} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.4

Soustrayez $1$ de $32$ .

$5 (\frac{31}{5}) - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.5

Associez $5$ et $\frac{31}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 31}{5} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.6

Multipliez $5$ par $31$ .

$\frac{155}{5} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7

Annulez le facteur commun à $155$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.7.1

Factorisez $5$ à partir de $155$ .

$\frac{5 \cdot 31}{5} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 31}{5 (1)} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 31}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{31}{1} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2.4

Divisez $31$ par $1$ .

$31 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$31 - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$31 - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 9.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$31 - 4 \frac{8 - 1}{3}$

Étape 9.2.3.11

Soustrayez $1$ de $8$ .

$31 - 4 (\frac{7}{3})$

Étape 9.2.3.12

Associez $- 4$ et $\frac{7}{3}$ .

$31 + \frac{- 4 \cdot 7}{3}$

Étape 9.2.3.13

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$31 + \frac{- 28}{3}$

Étape 9.2.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$31 - \frac{28}{3}$

Étape 9.2.3.15

Pour écrire $31$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$31 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3}$

Étape 9.2.3.16

Associez $31$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{31 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3}$

Étape 9.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{31 \cdot 3 - 28}{3}$

Étape 9.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.18.1

Multipliez $31$ par $3$ .

$\frac{93 - 28}{3}$

Étape 9.2.3.18.2

Soustrayez $28$ de $93$ .

$\frac{65}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{65}{3}$

Forme décimale :

$21.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$21 \frac{2}{3}$

Étape 11