Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Étape 1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x - 2 x}} - x$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2}} - x$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Étape 2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sqrt{x (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sqrt{x (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} {\sqrt{x (x - 2)}}^{1}} - x$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1 + 1}} - x$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{2}} - x$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x (x - 2)}}^{2}$ comme $x (x - 2)$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (x - 2)}$ comme ${(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{({(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - x$

Étape 2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - x$

Étape 2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Étape 2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Étape 2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{1}} - x$

Étape 2.1.3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x$

Étape 2.2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$

Étape 2.3

Associez $- x$ et $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} + \frac{- x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x) (x - 2)}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} (x - 2)}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} x - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} + 2 x^{2}}{x (x - 2)}$