Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $\sqrt{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{x} \sqrt{2}$ et $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $\sqrt{2} \sqrt{x}$ de $\sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ et $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.5

Simplifiez

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

Étape 3.4.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

Étape 3.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Étape 3.5

Divisez $0$ par $x - 2$ .

$0$