Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 6

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{27 - 27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.6

Soustrayez $27$ de $27$ .

$\frac{0 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.7

Additionnez $0$ et $12$ .

$\frac{12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.1.8

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{0}{(x^{4} - 3 x^{3}) + x - 3}$

Étape 8.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{0}{x^{3} (x - 3) + 1 (x - 3)}$

Étape 8.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1)}$

Étape 8.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1^{3})}$

Étape 8.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

Étape 8.2.5

Simplifiez

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Étape 8.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

Étape 8.2.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

$\frac{0}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 8.3

Divisez $0$ par $(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$0$