Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ et $2 x^{2} - 8$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cdot 2$ .

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2)$ .

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ comme $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.7

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} - 8}$

Étape 7.1.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2}) - 8}$

Étape 7.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Étape 7.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

Étape 7.1.8.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

Étape 7.1.8.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 1 (- 6 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 1 (- 6 + 4 + 2)}{x^{2} - 4}$

Étape 7.2.3

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Étape 7.2.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 4}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 7.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.5

Divisez $0$ par $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$