Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 3} (x^{2} + 2 x - 15) \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15 \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{(lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Factorisez $\tan (2 x - 6)$ à partir de $\tan^{2} (2 x - 6)$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6) \tan (2 x - 6)}$

Étape 11.2

Séparez les fractions.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6)}$

Étape 11.3

Réécrivez $\tan (2 x - 6)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}}$

Étape 11.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Étape 11.5

Écrivez $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Divisez $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ par $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Étape 11.6.2

Associez $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ et $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.7.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.7.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{9 + 6 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.7.4

Additionnez $9$ et $6$ .

$\frac{15 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.7.5

Soustrayez $15$ de $15$ .

$\frac{0}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.8

Réécrivez $\tan (2 x - 6)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$0 \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)} \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.10

Multipliez $0$ par $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$0 \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.11.1

Multipliez $- 1 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 11.11.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.11.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 9) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.11.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0 \frac{\sin (0) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.11.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \frac{0 \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.12

Multipliez $0$ par $\cos (2 x - 6)$ .

$0 \frac{0}{\sin (2 x - 6)}$

Étape 11.13

Divisez $0$ par $\sin (2 x - 6)$ .

$0 \cdot 0$

Étape 11.14

Multipliez $0$ par $0$ .

$0$