Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 25} 2 x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Étape 1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 25} x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $25$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 25}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$\frac{50}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$\frac{50}{\sqrt{25^{2} - x^{2}}}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 25$ et $b = x$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Étape 3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Étape 3.4.2

Élevez $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Étape 3.4.3

Élevez $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} {\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1}}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}$ comme $(25 + x) (25 - x)$ .

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Étape 3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ comme ${((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{({((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{1}}$

Étape 3.4.6.5

Simplifiez

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{(25 + x) (25 - x)}$