Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{0}{2 (x^{2}) - 8 x + 8}$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{0}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{0}{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 4)}$

Étape 3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Étape 3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (0)}{2 ({(x - 2)}^{2})}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Divisez $0$ par ${(x - 2)}^{2}$ .

$0$