Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.1.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8 - 8}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2}} + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{x + 5 - (x + 1)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{x + 5 - x - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{x + 5 - x - 1}$

Étape 6.2.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0}{0 + 5 - 1}$

Étape 6.2.5

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{0}{5 - 1}$

Étape 6.2.6

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 6.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$